令\(Z=\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\)，则有\[E(Z)=0,var(Z)=\Sigma=\begin{bmatrix}\Sigma_{11}&\Sigma_{12}\\\Sigma_{21}&\Sigma_{22}\end{bmatrix}\]令\(U=a’X,V=b’Y\),因此，求解第一对典型变量和典型相关系数的约束化问题就等价于\[\max \rho(U,V)=\alpha’\Sigma_{12}\beta,\\s.t.\alpha’\Sigma_{11}\alpha=1\\\beta’\Sigma_{22}\beta=1\]这是一个典型的约束优化问题，这里采用约束问题的一阶必要条件进行求解。构造上述约束的\(Lagrange\)函数\[L(\alpha,\beta,\lambda)=\alpha’\Sigma_{12}\beta-\frac{\lambda_1}{2}(\alpha’\Sigma_{11}\alpha)-\frac{\lambda_2}{2}(\beta’\Sigma_{22}\beta-1)\]其中，\(\lambda=(\lambda_1,\lambda_2)’\)为\(Lagrange\)乘子

  由约束问题的一阶必要条件\[\nabla_{\alpha}L=0,\nabla_{\beta}L=0,\alpha’\Sigma_{11}\alpha=1,\beta’\Sigma_{22}\beta=1\]得到如下方程\[(1)\Sigma_{12}\beta-\lambda_1\Sigma_{11}\alpha=0\\(2)\Sigma_{21}\beta-\lambda_2\Sigma_{22}\beta=0\\(3)\alpha’\Sigma_{11}\alpha=1\\(4)\beta’\Sigma_{22}\beta=1\]

  接下来求解该方程，在式(1)左乘\(\alpha’\)，式(2)左乘\(\beta’\)，再利用式(3)和式(4)，得到\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda\)。由于\(\Sigma\ne 0\)，所以可以得到 \[\lambda^2\alpha=\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}\alpha=M_1\alpha,\\\lambda^2\beta=\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}\beta=M_2\beta,\]

  可以看到，\(\lambda^2\)是矩阵\(M_1,M_2\)的特征值，\(\alpha,\beta\)分别是特征值所对应的特征向量

  现在，优化问题转为了求\(M_1orM_2\)的最大特征值和相应满足\(||\Sigma_{11}^{1/2}=1||,||\Sigma_{22}^{1/2}||=1\)的特征向量的问题。

  又由于我们已经给出了协方差阵的估计方法，所以，关于样本典型变量的计算，只需要将矩阵\(M_1,M_2\)中的\(\Sigma_{11},\Sigma_{12},\Sigma_{21},\Sigma_{22}\)换成\(\hat\Sigma_{11},\hat\Sigma_{12},\hat\Sigma_{21},\hat\Sigma_{22}\)即可，因此，计算过程为： 令\(M_1=\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}\); 计算\(M_1\)的全部特征值\(\lambda_1^2\ge\lambda_2^2\ge…\ge\lambda_m^2\)，其中\(m=min(p,q)\)和相应的特征向量\(\alpha_k\)令\[\beta_k=\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}\alpha_k\\\alpha_k=\alpha_k/\sqrt{\alpha’\hat\Sigma_{11}\alpha_k}\\b_k=\beta_k/\sqrt{\beta’\hat\Sigma_{22}\beta_k}\]，则\(\lambda_k=\sqrt{\lambda_k^2}\)为第\(k\)对样本典型相关系数，\(U_k=\alpha_k’X,V_k=b_k’Y\)为第\(k\)对样本典型变量。